Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nguồn : Mạng (Cậu tham khảo nhé)
G là trọng tâm ΔABC ⇒ AD/AG = 3/2; DG/AG = 1/2
D là trung điểm BC và BI//CK ⇒ Δ BDI = ΔCDK (g.c.g)
⇒ D là trung điểm IK ⇒ AI + AK = 2AD; IG + KG = 2DG;
Ta có:
1) AB/AM + AC/AN = AI/AG + AK/AG = (AI + AK)/AG = 2AD/AG = 2.(3/2) = 3 (đpcm)
2) BM/AM + CN/AN = IG/AG + KG/AG = (IG + KG)/AG = 2DG/AG = 2.(1/2) = 1 (đpcm)
Gọi E là trung điểm của DC
Khi đó ME , EN lần lượt là đường trung bình của \(\Delta\)BDC, \(\Delta\)DAC
=> ME = \(\frac{1}{2}\)BD, EN = \(\frac{1}{2}\)AC
Mà BD = AC nên ME = NE
=> ^ENM = ^EMN
Mà ^EMN = ^ BNM( EM//BD,slt)
và ^ENM = ^MKC (EN//AC, đồng vị)
=> ^ BNM = ^MKC (đpcm)
A B C M P N H
Kẻ CH song song MP và H thuộc AB
ta có
\(\hept{\begin{cases}\frac{NB}{NC}=\frac{MB}{MH}\\\frac{PC}{PA}=\frac{MH}{MA}\end{cases}\Rightarrow\frac{MA}{MB}.\frac{NB}{NC}.\frac{PC}{PA}=}\frac{MA}{MB}.\frac{MB}{MH}.\frac{MH}{MA}=1\)vậy ta có dpcm
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\), ta có \(\overset{\rightarrow}{A G} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A D}\). Vì \(M\) thuộc \(A B\) và \(N\) thuộc \(A C\), nên tồn tại các số thực \(m\) và \(n\) sao cho: \(\overset{\rightarrow}{A M} = m \overset{\rightarrow}{A B}\) \(\overset{\rightarrow}{A N} = n \overset{\rightarrow}{A C}\) Suy ra: \(\overset{\rightarrow}{A B} = \frac{1}{m} \overset{\rightarrow}{A M}\) \(\overset{\rightarrow}{A C} = \frac{1}{n} \overset{\rightarrow}{A N}\) Do đó, ta cần chứng minh: \(\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 3\) Vì \(M , G , N\) thẳng hàng, nên tồn tại số thực \(k\) sao cho \(\overset{\rightarrow}{A G} = k \overset{\rightarrow}{A M} + \left(\right. 1 - k \left.\right) \overset{\rightarrow}{A N}\). \(\overset{\rightarrow}{A G} = k \left(\right. m \overset{\rightarrow}{A B} \left.\right) + \left(\right. 1 - k \left.\right) \left(\right. n \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right)\) \(\frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{A D} = k m \overset{\rightarrow}{A B} + \left(\right. 1 - k \left.\right) n \overset{\rightarrow}{A C}\) Vì \(A D\) là trung tuyến nên \(\overset{\rightarrow}{A D} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right)\). \(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{A B} + \overset{\rightarrow}{A C} \left.\right) = k m \overset{\rightarrow}{A B} + \left(\right. 1 - k \left.\right) n \overset{\rightarrow}{A C}\) \(\frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A B} + \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{A C} = k m \overset{\rightarrow}{A B} + \left(\right. 1 - k \left.\right) n \overset{\rightarrow}{A C}\) Vì \(\overset{\rightarrow}{A B}\) và \(\overset{\rightarrow}{A C}\) không cùng phương, ta có: \(k m = \frac{1}{3}\) \(\left(\right. 1 - k \left.\right) n = \frac{1}{3}\) Suy ra: \(k = \frac{1}{3 m}\) \(1 - k = \frac{1}{3 n}\) \(1 = k + \left(\right. 1 - k \left.\right) = \frac{1}{3 m} + \frac{1}{3 n}\) \(1 = \frac{1}{3 m} + \frac{1}{3 n}\) \(3 = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\) \(3 = \frac{A B}{A M} + \frac{A C}{A N}\) Vậy, \(\frac{A B}{A M} + \frac{A C}{A N} = 3\) (điều phải chứng minh).