Ta cần tìm vector \(\overset{⃗}{A J}\) theo các vector \(\overset{⃗}{A B}\) và \(\overset{⃗}{A C}\), dựa trên các tỷ lệ đoạn thẳng trên cạnh \(B C\).

Bước 1: Gọi các điểm và biểu diễn vector

Gọi \(A\), \(B\), \(C\) là 3 điểm trong mặt phẳng. Đặt:

• \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{u}\)
• \(\overset{⃗}{A C} = \overset{⃗}{v}\)

=> \(\overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{v} - \overset{⃗}{u}\)

Bước 2: Tìm tọa độ điểm \(I\) theo tỉ lệ \(2 C I = 3 B I\)

Tỉ lệ \(2 C I = 3 B I\) ⇔ \(\frac{C I}{B I} = \frac{3}{2}\)

Biến đổi:

\(\frac{B I}{C I} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{B I}{B C} = \frac{2}{5} , \frac{C I}{B C} = \frac{3}{5}\)

=> \(I\) chia đoạn \(B C\) theo tỉ lệ \(B I : I C = 2 : 3\)

Vậy:

\(\overset{⃗}{A I} = \overset{⃗}{A B} + \frac{2}{5} \overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{u} + \frac{2}{5} \left(\right. \overset{⃗}{v} - \overset{⃗}{u} \left.\right) = \overset{⃗}{u} \left(\right. 1 - \frac{2}{5} \left.\right) + \frac{2}{5} \overset{⃗}{v} = \frac{3}{5} \overset{⃗}{u} + \frac{2}{5} \overset{⃗}{v}\)

Bước 3: Tìm tọa độ điểm \(J\) theo tỉ lệ \(5 J B = 2 J C\)

Tỉ lệ \(5 J B = 2 J C\) ⇔ \(\frac{J B}{J C} = \frac{2}{5}\)

=> \(\frac{J C}{B C} = \frac{5}{7} , \frac{J B}{B C} = \frac{2}{7}\)

=> \(J\) chia đoạn \(B C\) theo tỉ lệ \(J C : J B = 5 : 2\)

Tức là:

\(\overset{⃗}{A J} = \overset{⃗}{A B} + \frac{2}{7} \overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{u} + \frac{2}{7} \left(\right. \overset{⃗}{v} - \overset{⃗}{u} \left.\right) = \overset{⃗}{u} \left(\right. 1 - \frac{2}{7} \left.\right) + \frac{2}{7} \overset{⃗}{v} = \frac{5}{7} \overset{⃗}{u} + \frac{2}{7} \overset{⃗}{v}\)

✅ Kết luận:

\(\boxed{\overset{⃗}{A J} = \frac{5}{7} \overset{⃗}{A B} + \frac{2}{7} \overset{⃗}{A C}}\)

Để giải bài toán này, ta đặt số học sinh của các lớp như sau:

• Số học sinh của lớp 3A là \(x\).
• Số học sinh của lớp 3B là \(x + 1\) (vì lớp 3B nhiều hơn lớp 3A 1 học sinh).
• Số học sinh của lớp 3C là \(x + 3\) (vì lớp 3C nhiều hơn lớp 3B 2 học sinh, tức là \(x + 1 + 2 = x + 3\)).

Theo đề bài, tổng số học sinh của ba lớp là 100, nên ta có phương trình:

\(x + \left(\right. x + 1 \left.\right) + \left(\right. x + 3 \left.\right) = 100\)

Giải phương trình này:

\(x + x + 1 + x + 3 = 100\) \(3 x + 4 = 100\) \(3 x = 100 - 4\) \(3 x = 96\) \(x = 32\)

Vậy số học sinh của mỗi lớp là:

• Lớp 3A có \(x = 32\) học sinh.
• Lớp 3B có \(x + 1 = 32 + 1 = 33\) học sinh.
• Lớp 3C có \(x + 3 = 32 + 3 = 35\) học sinh.

Kiểm tra lại tổng số học sinh: \(32 + 33 + 35 = 100\), đúng như đề bài yêu cầu.

Vậy số học sinh của từng lớp là:

• Lớp 3A: 32 học sinh
• Lớp 3B: 33 học sinh
• Lớp 3C: 35 học sinh.